第86篇 混沌论（3）— 庞加莱：第一个研究混沌运动的科学家

第86篇  混沌论（3）— 庞加莱：第一个研究混沌运动的科学家
作者：
中国医药信息学会北京分会后现代理论医学专业委员会主任委员杨鸿智
远古时代人们对大自然的变幻无常怀着神秘莫测的恐惧。几千年的文明进步使人类逐渐认识到，大自然是有些规律可循的。经典力学在天文学上的预言获得辉煌的成就，无疑给予了人们巨大的信心，以致在18世纪里把宇宙看作一架庞大时钟的机械宇宙观占了统治地位。伟大的法国数学家拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace)的一段名言把这种彻底的决定论思想发挥到了顶峰：设想有位智者在每一瞬间得知激励大自然的所有的力，以及组成它的所有物体的相互位置，如果这位智者如此博大精深，他能对这样众多的数据进行分析，把宇宙间最庞大物体和最轻微原子的运动凝聚到一个公式之中，对他来说没有什么事情是不确定的，将来就像过去一样展现在他的眼前。牛顿力学在天文上处理得最成功的，是两体问题，譬如地球和太阳的问题。两个天体在万有引力作用下，围绕它们共同的质心作严格的周期运动。正因为如此，我们地球上的人类才有个安宁舒适的家园。但是太阳系中远不只两个成员，第三者的介入会不会动摇这种稳定与和谐？长期以来天文学上按牛顿力学来处理这类问题，用所谓“摄动法”即把其它天体的作用看作是微小的扰动，以计算对两体轨道的修正。拉普拉斯用这种方法“证明”了三体的运动也是稳定的。当拿破仑问他这个证明中上帝起了什么作用时，他的回答是“陛下，我不需要这样的假设”。拉普拉斯否定了上帝，然而他的结论却是错的，因为他所用的摄动法级数不收敛。第一个意识到三体问题全部复杂性的也是位法国数学家，他叫庞加莱（HenriPoincare)。庞加莱是19、20世纪之交最伟大的数学家，当今有关“混沌”理论最深刻的思想，都已经在他的头脑里形成了。只不过那时没有强有力的计算机，把他的思想清晰地表达出来。1887年瑞典国王奥斯卡二世（Oscar )以2500克朗为资金征文，题目是天文学上的基本问题：“太阳系稳定吗？”庞加莱是最渊博的数学家，他谙熟当时数学的每个领域，对奥斯卡国王的问题自然要试一下身手。庞加莱并没有最终解决它，事后表明，此问题的复杂性是人们没有预料的。但由于他的工作对这个领域产生的深刻影响，庞加莱还是获得了奖。在万有引力作用下三体的运动方程，可以按照牛顿定律严格地给出，但由于它们是非线性的，谁也不会把它们的解表达式成解析形式（事后证明这是不可能的；不仅三体问题的运动方程不可能，而绝大多数非线性微分方程的解都不可能写成解析形式）。庞加莱另辟蹊径，发明了相图和拓扑学的方法，在不求出解的情况下，通过直接考查微分方程本身的结构去研究它的解的性质。庞加莱开拓了整整一个数学的新领域----微分方程的定性理论，至今有着极其深远的影响。十足的三体问题太复杂了，庞加莱采用了美国数学家希尔（Hill)提出的简化模型：假定有两个天体，它们在万有引力作用下，围绕共同的质心，沿着椭圆形的轨道，作严格的周期性运动（这种运动叫做“开普勒运动”）；另有一颗宇宙尘埃，在这两个天体的引力中游荡。两天体可完全不必理会这颗粒产生的引力对它们轨道的影响，更不会动摇它们之间运动的和谐，因为颗粒的质量相对它们自己来说实在太小了。可是颗粒的运动会是怎样的呢？这简化模型现称之为“限制性三体问题”。庞加莱用自己的发明的独特方法穿探寻着，这颗粒有没有周期性轨道。他在相间的截面上发现，颗粒的运动竟是没完没了的自我缠结，密密麻麻地交织成如此错综复杂的蜘蛛网。要知道，当时并没有计算机把这一切显示在屏幕上，上述复杂图象是庞加莱靠逻辑思维在自己的头脑里形成的。他在论文中写道：“为这图形的复杂性所震惊，我都不想把它画出来。”这样复杂的运动是高度不稳定的，任何微小的扰动都会使粒子的轨道在一段时间以后有显著的偏离。因此，这样的运动在一段时间以后是不可预测的，因为在初始条件或计算过程中任何微小的误差，都会导致计算结果严重失实。
庞加莱的发现告诉我们，简单的物理模型（如限制性三体问题）会产生非常复杂的运动，决定论的方程（拉普拉斯意义下的）可导致无法预测的结果。虽然庞加莱的发现已有100多年了，而且在此期间许多优秀的数学家继庞加莱之后作出了卓越的贡献，直到1975年学术界才创造了“混沌（chaos）”这个古怪的词儿，来刻画这类复杂的运动。本世纪七八十年代在学术界掀起了理论的热潮，从数学、力学、化学、生物学等自然科学。在新闻媒体的报导下，又将“混沌”一词传播到社会上，难免被渲染上几分神秘的色彩。什么是混沌？撇开数学上严格的定义不谈，我们可以说混沌是在决定性（deterministic）动力学系统中出现的一种貌似随机的运动。动力学系统通常由微分方程、差分方程或简单的迭代方程所描述，“决定性”的指方程中的系数都是确定的，没有概率性的因素。从数学上说，对于确定的初始值，决定性的方程应给出确定的解，描述着系统确定的行为。但在某些非线性系统中，这种过程会因初始值极微小的扰动而产生很大的变化，即系统对初值依赖的敏感性。由于这种初值敏感性，从物理上看，过程好像是随机的。这种“假随机性”与方程中有反映外界干扰的随机项或随机系数而引起的随机性不同，是决定系统内部所固有的，可称之为内禀随机性（intrinsic stochasticity）。的确，计算机数值计算和真实的物理实验都表明，在一定的参数下，在单摆和倒摆的受迫振动中都会出现混沌运动。待开始一段暂态过程过去后，周期运动的相轨道趋于闭合曲线，即极限环；混沌运动的相轨则趋于非常复杂的吸引子，叫做奇怪吸引子(strange attractor)或混沌吸引子(chaotic attractor)。（网络下载）
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刘医生（超级版主）：好。
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Pet：佩服啊！

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